Bukti Teorema Ptolemy

Tulisan kali ini masih berkaitan dengan goresan pena sebelumnya, masih wacana segiempat talibusur (cyclic quadrilateral), pada goresan pena sebelumnya kita sudah menandakan Formula Brahmagupta sementara pada kesempatan kali ini kita akan menandakan Teorema Ptolemy. 

Teorema Ptolemy ini sangat umum dipakai untuk mencari panjang sisi segiempat talibusur ataupun diagonal dari segiempat tali busur. Beginilah suara teorema tersebut:

Misal diketahui segiempat tali busur $ABCD$ menyerupai pada gambar di bawah ini:

Teorema Ptolemy menyampaikan bahwa hasil kali diagonal sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang bersebrangan, atau sanggup di tulis sebagai berikut:

$$\boxed{BD\times AC=CD\times AB+AD \times BC}$$

atau

$$\boxed{m\times n=ac+bd}$$

BUKTI TEOREMA PTOLEMY (Dengan Aturan Cosinus)

Perhatikan segitiga $ABC$, menurut hukum cosinus kita peroleh:
$n^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos{\alpha}\hspace{2cm}(1)$

Perhatikan segitiga $ACD$, menurut hukum cosinus kita peroleh:

$\begin{align*}n^{2}&= a^{2}+b^{2}-2ab\cos {(180^\circ-\alpha)}\\&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha\hspace{2cm}(2)\end{align*}$

dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh:

$\begin{align*}c^{2}+d^{2}-2cd\cos{\alpha}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{\alpha}\\c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}&=2(ab+cd)\cos{\alpha}\\ \cos{\alpha}&=\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}\hspace{2cm}(3)\end{align*}$

Sekarang kita substitusi persamaan $(3)$ ke persamaan $(1)$:

$\begin{align*}n^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}\\&=c^{2}+d^{2}-(\frac{c^{3}d+cd^{3}-cda^{2}-cdb^{2}}{ab+cd})\\&=\frac{(c^{2}+d^{2})(ab+cd)-(c^{3}d+cd^{3}-cda^{2}-cdb^{2})}{ab+cd}\\&=\frac{abc^{2}+c^{3}d+abd^{2}+cd^{3}-c^{3}d-cd^{3}+cda^{2}+cdb^{2}}{ab+cd}\\&=\frac{abc^{2}+abd^{2}+cda^{2}+cdb^{2}}{ab+cd}\\&=\frac{(cda^{2}+abc^{2})+(abd^{2}+cdb^{2})}{ab+cd}\\&=\frac{ac(ad+bc)+bd(ad+bc)}{ab+cd}\\&=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\hspace{2cm}(4)\end{align*}$

Perhatikan segitiga $ABD$, menurut hukum cosinus, diperoleh:
$m^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\beta}\hspace{2cm}(5)$

Perhatikan segitiga $BCD$, menurut hukum cosinus, diperoleh:
$\begin{align*}m^2&=a^{2}+d^{2}-2ad\cos{(180^\circ-\beta)}\\&=a^{2}+d^{2}+2ad\cos{\beta}\hspace{2cm}(6)\end{align*}$

dari persamaan $(5)$ dan $(6)$ kita peroleh:
$\begin{align*}b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\beta}&=a^{2}+d^{2}+2ad\cos{\beta}\\b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}&=2(ad+bc) \cos{\beta}\\  \cos{\beta}&=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{2(ad+bc)}\hspace{2cm}(7)\end{align*}$

Substitusi persamaan $(7)$ ke persamaan $(5)$:
$\begin{align*}m^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{2(ad+bc)})\\&=b^{2}+c^{2}-( \frac{b^{3}c+bc^{3}-a^{2}bc-bcd^{2}}{ad+bc})\\&=\frac{(b^{2}+c^{2})(ad+bc)-(b^{3}c+bc^{3}-a^{2}bc-bcd^{2})}{ad+bc} \\&=\frac{b^{3}c+ab^{2}d+bc^{3}+ac^{2}d-b^{3}c-bc^{3}+a^{2}bc+bcd^{2}}{ad+bc}\\&=\frac{ab^{2}d+ac^{2}d+a^{2}bc+bcd^{2}}{ad+bc}\\&=\frac{(a^{2}bc+ac^ab^{2}d)(ac^{2}d+bcd^{2})}{ad+bc}\\&=\frac{ab(ac+bd)+cd(ac+bd)}{ad+bc}\\&=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\hspace{2cm}(8)\end{align*}$

dari persamaan $(4)$ dan $(8)$ kita peroleh:
$\begin{align*}n^{2}\times n^{2}&=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\times \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\\(nm)^{2}&=(ac+bd)^{2}\\nm&=ac+bd\hspace{2cm}\blacksquare\end{align*}$

Share this post