Induksi Matematika

Pengertian induksi yaitu menciptakan pernyataan umum dari hasil sejumlah pernyataan khusus yang tersedia. Dalam matematika ada beberapa cara untuk menandakan suatu rumus, salah satunya yaitu dengan induksi matematika. kegunaan induksi matematika yaitu untuk menandakan rumus yang berlaku untuk semua bilangan asli.

Suatu rumus P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli, sanggup dibuktikan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = 1
2. Jika P(k) benar untuk n = k maka dibuktikan benar untuk n = k + 1.

Contoh 1.

Dengan memakai induksi matematika, buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan orisinil n berlaku:

$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2$

Pembuktian:
Langkah 1.
Untuk n = 1

1 = $1^2$ (BENAR)
Langkah 2.
Untuk n = k maka $1 + 3 + 5 + ... + (2.k - 1) = k^2$ (BENAR)
akan dibuktikan berlaku untuk n = k + 1 yaitu:
$1 + 3 + 5 + ... + (2.k - 1) + [2.(k + 1) - 1]$ = $(k + 1)^2$
$\begin{align} k^2 + 2(k + 1) - 1 &= (k + 1)^2 \\ k^2 + 2k + 2 - 1 &= (k + 1)^2 \\ k^2 + 2k + 1 &= (k + 1)^2 \\ (k + 1)^2 &= (k + 1)^2 \end{align}$
Ruas kiri = Ruas kanan (terbukti)

Contoh 2.
Gunakan induksi matematika menandakan bahwa:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!$ = $(n+1)!-1$ (untuk n bilangan asli).
Pembuktian:
Misalkan:
$P(n) = 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!$ = $(n+1)!-1$
Langkah 1
Untuk n = 1, maka
1.1! = (1 + 1)! - 1
1 = 2 - 1
1 = 1 (BENAR)
Langkah 2
Untuk n = k maka:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k!$ = $(k+1)!-1$ (BENAR)
Akan dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1 yaitu:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k!$ + $(k + 1)(k + 1)!$ = $[(k+1) + 1]!-1$
$(k + 1)! - 1 + (k+1)(k+1)!$ = $(k+2)! - 1$
$(k + 1)! + (k+1)(k+1)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
$[1 + (k + 1)](k+1)! - 1$ = $(k+ 2)! -1$
$(k+2)(k+1)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
$(k+2)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
ruas kiri = ruas kanan (terbukti).

Contoh 3.
Gunakan induksi matematika menandakan bahwa:
$1.2 + 2.3 + 3.4 +  ... + n.(n+1)$ = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
(n bilangan asli).
Pembuktian:
Misalkan:
$P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  ... + n.(n+1)$ = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
Langkah 1
Untuk n = 1 maka:
1.2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$
2 = 2 (BENAR)
Langkah 2
Untuk n = k, maka:
$1.2 + 2.3 + 3.4 +  ... + k(k+1)$ = $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ (BENAR).
Akan dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1 yaitu:
1.2 + 2.3 + 3.4 +  ... + $k.(k+1)$ + $(k+1)[(k+1) + 1]$ = $\frac{(k + 1)[(k+1)+1][(k+1) + 2]}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ + (k+1)(k+2) = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ + $\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{(k+1)(k+2)(k + 3)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
ruas kiri = ruas kanan (terbukti).

Contoh 4.
Dengan induksi matematika buktikan bahwa:
P(n) = n(n+1)(n+5) yaitu kelipatan 3 untuk n bilangan asli.
Pembuktian:
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
P(1) = 1(1+1)(1+5) = 12 (kelipatan 3), BENAR.
Langkah 2.
Untuk n = k, maka:
$P(k) = k(k+1)(k+5)$ = $k^3 + 6k^2 + 5k$ yaitu kelipatan 3.
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) juga kelipatan 3 yaitu:
$P(k + 1)$ = $(k+1)[(k+1) + 1][(k+1) +5]$
= $(k+1)(k+2)(k+6)$
= $(k^2 + 3k + 2)(k+6)$
= $k^3 + 6k^2 + 3k^2 + 18k + 2k + 12$
= $k^3 + 9k^2 + 20k + 12$
= $(k^3 + 6k^2 + 5k) + (3k^2 + 15k + 12)$
= $k(k^2 + 6k + 5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
= $k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
sebab $k(k+1)(k+5)$ yaitu kelipatan 3 berdasarkan hipotesis dan $3(k^2 + 5k + 4)$ juga merupakan kelipatan 3, jadinya $k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$ yaitu kelipatan 3.
Terbukti bahwa P(k + 1) kelipatan 3.
Jadi, P(n) = n(n+1)(n+5) yaitu kelipatan 3 terbukti.

Share this post