Fungsi Floor Dan Fungsi Ceiling

Misal $x$ yakni bilangan real, pastinya $x$ berada diantara dua bilangan lingkaran (integer). Fungsi floor dan ceiling memetakan bilangan real tersebut terhadap bilangan lingkaran terdekat. Biar lebih terang mari kita bahas satu persatu.

Definisi Fungsi Floor (Floor Function) dan Fungsi Ceiling (Ceiling Function)

Fungsi Floor dari $x$ ditulis $\lfloor x \rfloor$, menyatakan bilangan lingkaran terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.

Fungsi Ceiling dari $x$ ditulis $\lceil x \rceil$, menyatakan bilangan lingkaran terkecil yang lebih dari atau sama dengan $x$.

Misal $x$ dan $y$ yakni bilangan real, $k$, $m$ dan $n$ yakni bilangan bulat, dan $\mathbb{Z}$ yakni himpunan bilangan bulat. Fungsi Floor dan Ceiling sanggup didefinisikan sebagai berikut:

$\left \lfloor x \right \rfloor=max\left \{ m\in\mathbb{Z}\: |\: m\leq x \right \}$

$\left \lceil x \right \rceil=min\left \{ n\in\mathbb{Z}\: |\: n\geq x \right \}$

dimana:

$x-1 < m\leq x \leq n < n+1$

Masih belum faham?

Oke sederhanyanya gini deh, Fungsi floor membulatkan bilangan real $x$ ke bawah, dan fungsi ceiling membulatkan bilangan real $x$ ke atas. untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa rujukan berikut:

$\lfloor 25,3 \rfloor = 25$

$\lceil 25,3 \rceil = 26$

$\lfloor -3,2 \rfloor = -4$

$\lceil -3,2 \rceil = -3$

fungsi floor dan ceiling ini sangat penting untuk dipelajari, penerapannya dalam matematika cukup banyak. Contohnya, pada bahan yang pernah dibahas oleh Soal Terbaru mengenai cara memilih banyaknya nol berurutan dari bialngan faktorial. pada bahan tersebut kita perlu memahami fungsi floor. Atau bagi kalian para "petarung olimpiade", sangat penting juga memahami fungsi ini. berikut ini dua rujukan soal olimpiade matematika yang memerlukan pemahaman fungsi floor dan ceiling:

Contoh 1

OSK Sekolah Menengah Pertama 2016

Misalkan $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan lingkaran terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x$. Jika 

$$x=\frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+\cdot+\frac{1}{1010}}$$

maka $\lceil x \rceil =$ ....

A. 35

B. 36

C. 37

D. 38

Pembahasan:

Nilai minimum untuk $x$ adalah:
$\begin{align*}x&=\frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1001}+\frac{3}{1001}+\cdots+\frac{10}{1001}}\\&=\frac{2}{\frac{55}{1001}}\\&=\frac{2002}{55}\\&=36,4\end{align*}$

Nilai maksimum untuk $x$ adalah:
$\begin{align*}x&=\frac{2}{\frac{1}{1010}+\frac{2}{1010}+\frac{3}{1010}+\cdots+\frac{10}{1010}}\\&=\frac{2}{\frac{55}{1010}}\\&=\frac{2020}{55}\\&=36,7\end{align*}$

maka $36,4 \leq x \leq 36,7$. 

dengan demikian $\left\lceil  x\right\rceil=37$

Contoh 2

OSK Sekolah Menengan Atas 2013

Pada persamaan fungsi tangga berikut berlaku:

$$\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{2012} \right \rfloor} \right \rfloor  = \left \lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor $$

Jika $\left \lfloor x \right \rfloor$ menyatakan bilangan lingkaran terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$, maka nilai $k$ yang memenuhi yakni ....

Pembahasan:
$\begin{align*} \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{2012} \right \rfloor} \right \rfloor&=\left \lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor 44,... \right \rfloor} \right \rfloor&=\left \lfloor \sqrt{44,...} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor \sqrt{44} \right \rfloor&=\left \lfloor 6,... \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor 6,... \right \rfloor&=6+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 6&=6+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 0&=\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 0\leq k < 2012\end{align*}$
$k=0,1,2,3,\cdots , 2011$

Jadi, nilai $k$ yang memenuhi yakni 0,1,2,3,..., 2011

Semoga Bermanfaat.

  

Share this post